La regola di Ruffini è una tecnica di scomposizione introdotta dal matematico Paolo Ruffini nel XVIII secolo, grazie alla quale è possibile effettuare la scomposizione di polinomi sotto opportune ipotesi, espresse dall'omonimo teorema. L'importanza del metodo di Ruffini è dovuta al fatto che funziona anche laddove le tecniche di scomposizione derivanti dai prodotti notevoli falliscono. In questa lezione presentiamo il metodo di scomposizione, ne descriviamo i passaggi e mostriamo come applicarlo negli esercizi. Vi anticipiamo che nelle lezioni successive ( divisione tra polinomi e teorema del resto ) ci occuperemo degli aspetti teorici alla base della regola, studiandoli nel dettaglio. Qui ci concentriamo sugli aspetti pratici. Calcolatore online con svolgimento completo Perché la regola è importante Esempio (con coefficiente direttivo diverso da 1) Calcolatore online: metodo di Ruffini con svolgimento passo-passo Per chi è qui per fare un ripasso e vuole verificare gli svolgimenti dei propri esercizi, ecco un calcolatore di DeepMath per applicare la regola di Ruffini online, con una spiegazione passo-passo , tabella per tabella, fino alla scomposizione del polinomio. Potete usarlo in due modi: specificando una radice razionale del polinomio oppure no. Nel secondo caso, DeepMath vi mostrerà l'elenco di radici razionali del polinomio e ne sceglierà una a caso per applicare il metodo. Perché studiare il metodo di Ruffini? Il metodo di Ruffini , sebbene spesso sia considerato un incubo dagli studenti delle Scuole Superiori, è una delle tecniche più sicure e meccaniche per scomporre i polinomi. Di solito in Matematica prima si studiano le definizioni, i teoremi e i procedimenti, e solo dopo ci si chiede perché. In questa lezione proviamo a invertire questa tendenza. Consideriamo un polinomio di grado e scomponibile. La regola di Ruffini consente di ottenere una scomposizione di del tipo dove e sono polinomi rispettivamente di grado 1 e . La morale è che se abbiamo un polinomio scomponibile, almeno di grado 2 ma tipicamente di grado 3 o superiore, e dobbiamo scomporlo, Ruffini fornisce un metodo infallibile . Pur trattandosi di un metodo sicuro, ci sono due avvertimenti che è bene ricordare. Ruffini non conviene per i polinomi scomponibili di grado 2, perché tutte le altre tecniche di scomposizione sono più veloci; Se individuiamo un'alternativa a Ruffini, usiamola. Se dobbiamo scomporre un polinomio scomponibile e di grado maggiore o uguale a 3, e se riconosciamo un altro metodo per effettuare la scomposizione, preferiremo sempre quest'ultimo. Ruffini è una macchina da guerra e funziona sempre, ma è un metodo più dispendioso rispetto alle altre tecniche. Come si scompone un polinomio con Ruffini? Ora che sappiamo perché conviene imparare la scomposizione di Ruffini , vediamo come procedere con un esempio. Ecco una panoramica dei passaggi. Ricercare una radice per applicare la regola di Ruffini. Compilare tabella di Ruffini. Passare dalla tabella alla scomposizione del polinomio . Se necessario, reiterare il metodo. Verificare il risultato (facoltativo). Applichiamo il metodo di Ruffini nel caso del polinomio . 1) Ricerca di una radice per applicare la regola di Ruffini. Cerchiamo una radice del polinomio . Per farlo possiamo avvalerci di un teorema dell'Algebra secondo cui, dato un polinomio di grado a coefficienti interi ( numeri relativi ) le eventuali radici razionali di , se esistono , sono della forma il numeratore è un divisore (positivo o negativo) del termine noto ; il denominatore è un divisore (positivo o negativo) del coefficiente direttivo . In particolare, se il coefficiente del termine di grado massimo è 1 oppure -1, le eventuali radici razionali sono divisori del termine noto. dove il simbolo | si legge "divide". Questa regola teorica è un vero e proprio teorema, conosciuto con il nome di teorema delle radici razionali . Nel nostro esempio il termine noto è e il coefficiente del termine di grado massimo è , dunque cerchiamo un'eventuale radice del polinomio tra i divisori del termine noto : Come facciamo a capire quale di questi valori è una radice del polinomio? Consideriamo il polinomio e sostituiamo, separatamente, ciascun valore al posto dell'indeterminata . Se la valutazione del polinomio è nulla, allora abbiamo trovato una radice (e ci fermiamo); in caso contrario dobbiamo passare al valore successivo. Proviamo sostituire al posto dell'indeterminata, uno alla volta, i valori -1, 1, -3, 3 in Affinché il valore sia una radice, la relativa valutazione del polinomio deve valere zero, e non è questo il caso. Dato che , abbiamo trovato una radice. Attenzione : la ricerca di una radice è la parte più delicata del metodo. Se i coefficienti del polinomio sono interi, il teorema delle radici razionali ci fornisce un metodo per provare a trovare un' eventuale radice razionale, ma bisogna considerare che... Il polinomio potrebbe non avere radici, come nel caso della somma di quadrati . Il polinomio potrebbe avere radici, ma non radici razionali, come nel caso della differenza di quadrati , che ammette unicamente le radici irrazionali . 2) Applicazione del metodo: tabella di Ruffini. Ora procediamo con la regola di Ruffini: compiliamo una tabella nel modo seguente. Nella prima riga compaiono i coefficienti dei termini del polinomio ordinati per grado . Nel nostro esempio mancava il termine di grado 2, quindi abbiamo aggiunto uno zero. La riga si conclude con il termine noto. Nella seconda riga troviamo come primo elemento la radice del polinomio che abbiamo trovato in precedenza. Fatto ciò, compiliamo la tabella. Nella terza e ultima riga scriviamo in prima posizione il coefficiente del termine di grado massimo. Procediamo poi con la seconda e la terza riga. Moltiplichiamo l'elemento della terza riga (1 blu) per la radice (1 rosso) e riportiamo il risultato (1 verde) nella seconda riga, sulla colonna successiva. A questo punto, sulla seconda colonna, sommiamo il coefficiente della prima riga (0) con l'elemento presente sulla seconda riga (1 verde), e riportiamo il risultato sulla terza riga. Reiterando il procedimento arriviamo all'ultimo elemento a destra sulla terza riga, che rappresenta il resto della scomposizione. Se abbiamo effettuato i calcoli correttamente, allora questo termine vale zero e abbiamo una situazione come in figura: 3) Come si passa dalla tabella alla scomposizione del polinomio P(x)=D(x)Q(x)?

Viene in nostro soccorso il teorema di Ruffini , secondo cui un polinomio è divisibile per se e solo se , ossia se e solo se è una radice del polinomio. Il teorema di Ruffini ci dice semplicemente che, se abbiamo una radice del polinomio , allora possiamo scomporlo come prodotto tra il binomio e un altro polinomio di grado . Per ora prendete questo teorema per buono (lo dimostreremo nella lezione sul teorema del resto ) e concentriamoci sul suo utilizzo pratico. Nel nostro esempio il polinomio di grado 1 è , ossia meno la radice, mentre quello di grado (nel nostro caso 3-1=2) ha come coefficienti i numeri che compaiono nella terza riga della tabella: Sappiamo che ha grado 2, quindi non può essere che Siamo arrivati alla scomposizione che volevamo: 4) Eventualmente, reiterare Ruffini. In generale, dopo aver applicato Ruffini, ci ritroviamo con una scomposizione della forma: Se il polinomio ha grado maggiore di 1 possiamo tentare un'ulteriore scomposizione, applicando eventualmente Ruffini (per polinomi di grado maggiore o uguale a 3) o qualsiasi altra tecnica di scomposizione a noi nota. Ciò ovviamente è possibile a patto che sia un polinomio scomponibile. 5) Verifica del risultato (facoltativa). Dopo aver scritto la scomposizione finale possiamo verificare il risultato calcolando i prodotti tra i polinomi presenti nella scomposizione. Se il risultato del prodotto coincide con il polinomio iniziale, allora lo svolgimento è corretto. Noi vi consigliamo di effettuare la verifica del risultato nei primi esercizi che svolgerete, almeno fino a che non avrete confidenza con il metodo. E perché no, anche nei compiti in classe! Esempio di applicazione della regola di Ruffini Consideriamo il polinomio e scomponiamolo applicando il procedimento secondo Ruffini. Il polinomio ha coefficienti interi, quindi possiamo applicare il teorema delle radici razionali. Inoltre, poiché il coefficiente del termine di grado massimo è 1, proviamo a cercare una radice tra i divisori del termine noto . Sostituiamo i valori al posto di nel polinomio e cerchiamone uno per cui risulti . Ad esempio, se consideriamo : Dunque e è una radice del polinomio. Il teorema di Ruffini ci dice già che potremo scrivere come dove il polinomio di primo grado è individuato dalla radice che abbiamo appena trovato, mentre è un polinomio di grado 4-1=3. Per determinare mettiamo in moto la regola e procediamo con la tabella: Nell'ultima riga abbiamo i coefficienti del secondo fattore della scomposizione, che sarà un polinomio di grado 3, ossia uno in meno rispetto a quello da cui siamo partiti: Possiamo scrivere la fattorizzazione di : Per scomporre ulteriormente il polinomio potremmo applicare ancora la regola di Ruffini su , oppure ricordare come si scompone una differenza di cubi : da cui otteniamo: Esempio sulla regola di Ruffini con coefficiente direttivo diverso da 1 Nei precedenti esempi abbiamo considerato polinomi con coefficiente direttivo uguale a 1. In questo caso una radice razionale del polinomio, se esiste, deve essere un divisore del termine noto. Vediamo un esempio di applicazione della regola di Ruffini nel caso di un polinomio con coefficiente direttivo diverso da 1. Consideriamo il seguente polinomio a coefficienti interi: Il termine noto e il coefficiente del termine di grado massimo sono rispettivamente: quindi cerchiamo un'eventuale radice razionale del tipo: Calcoliamo i divisori dei due coefficienti: il numeratore rientra tra i divisori di : il numeratore rientra tra i divisori di : il denominatore rientra tra i divisori di : il denominatore rientra tra i divisori di : A questo punto determiniamo l'insieme delle possibili radici razionali, ossia l'insieme delle frazioni che hanno a numeratore un divisore del termine noto e a denominatore un divisore del coefficiente direttivo : Scriviamo l'insieme delle possibili radici razionali, ricordando che per definizione di insieme gli elementi non possono essere ripetuti: Sostituiamo ciascun valore nel polinomio al posto dell'indeterminata e fermiamoci non appena ne troviamo uno che verifichi . Ad esempio, se , ricaviamo: Di conseguenza è una radice del polinomio e, in accordo con il teorema di Ruffini: dove è un polinomio di grado 3-1=2. Per determinare è sufficiente completare la tabella di Ruffini: Nell'ultima riga troviamo i coefficienti del secondo fattore, un polinomio di grado 2, ordinati secondo le potenze decrescenti di : Possiamo scrivere la scomposizione in fattori di : Per scomporre ulteriormente il polinomio potremmo applicare nuovamente il metodo di Ruffini su , oppure sfruttare la tecnica di scomposizione per i trinomi notevoli : da cui otteniamo: Qui abbiamo finito! Vi raccomandiamo di fare quanto più allenamento possibile con gli esercizi svolti della scheda correlata. Nel caso non bastassero, o per qualsiasi eventuale dubbio, sappiate che qui su YouMath potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;) Inoltre, se volete verificare i risultati dei vostri esercizi potete usare il tool per la scomposizione di polinomi online e quello per risolvere le espressioni online . ;) Namasté, see you soon guys! Fulvio Sbranchella (Agente Ω) Ultima modifica: 21/04/2025 Il Team di YouMath Termini e Privacy