I prodotti notevoli sono formule di calcolo che permettono di sviluppare velocemente determinate potenze e prodotti tra polinomi, e viceversa di scomporre certi tipi di polinomi. Vengono chiamate prodotti notevoli perché si riferiscono a prodotti ricorrenti nel calcolo polinomiale. Come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, la moltiplicazione tra polinomi può essere un procedimento lungo e faticoso, in cui spesso si commettono errori. Per evitarli conviene prendere confidenza con i prodotti notevoli: sono regole pratiche che da un lato permettono di velocizzare i calcoli, e dall'altro consentono di scomporre moltissimi polinomi. Qui ci limitiamo a presentare l'elenco completo con tutti i prodotti notevoli, e proponiamo alcuni esempi per dare un'idea dell'utilità delle formule. Nelle lezioni successive approfondiamo nel dettaglio ciascuno dei prodotti notevoli, mostrando diversi esempi di calcolo e mettendovi in guardia dagli errori più frequenti. Elenco dei prodotti notevoli Quali sono i prodotti notevoli? I più importanti, e più comunemente utilizzati, sono quelli del seguente elenco. Quadrato di un binomio con somma Quadrato di un binomio con somma Quadrato di un binomio con differenza Quadrato di un binomio con differenza Prodotto notevole della differenza di quadrati (somma per differenza) Prodotto notevole della differenza di quadrati (somma per differenza) Cubo di un binomio con somma Cubo di un binomio con somma Cubo di un binomio con differenza Cubo di un binomio con differenza Prodotto notevole della somma di due cubi Prodotto notevole della somma di due cubi Prodotto notevole della differenza di due cubi Prodotto notevole della differenza di due cubi Quadrato di un trinomio con somma Quadrato di un trinomio con somma Quadrato di un trinomio con differenza Quadrato di un trinomio con differenza Potenza di un binomio Potenza di un binomio Prima di scappare alla lezione del prodotto notevole che più vi interessa, vi consigliamo di portare a termine la lettura. Ecco alcune osservazioni in ordine sparso. Per come li abbiamo scritti, i prodotti notevoli 3), 6) e 7) sono formule per passare da un polinomio in forma compatta a un prodotto, dunque sono prodotti notevoli di scomposizione . Per come li abbiamo scritti, i prodotti notevoli 1), 2), 4), 5), 8), 9) e 10) sono formule per passare da una potenza a un polinomio in forma compatta, dunque sono prodotti notevoli di sviluppo . Indipendentemente dal modo in cui viene proposto, ogni prodotto notevole può essere letto in un verso o nell'altro, e dunque può servire sia per lo sviluppo, sia per la scomposizione. C'è un ulteriore formula di scomposizione/sviluppo che non abbiamo incluso tra i prodotti notevoli, anche se in certi casi viene annoverata come tale. Viene utilizzata per scomporre particolari tipi di trinomi, motivo per cui viene chiamata formula del trinomio particolare . Ne parleremo in una lezione dedicata. In genere la formula 10) non è richiesta alle Scuole Superiori, dunque ne parliamo approfonditamente in una lezione a parte, dedicata al binomio di Newton . Ad ogni modo esiste un metodo equivalente che permette a tutti gli studenti delle Scuole Superiori di calcolare la potenza di un binomio qualsiasi. Dimostrazioni delle formule dei prodotti notevoli

Come sempre in Matematica ci sono due possibilità: imparare a memoria o capire. Per capire bisogna convincersi che le formule dei prodotti notevoli che abbiamo scritto sopra sono valide, e per farlo non ci resta che sviluppare esplicitamente i prodotti tra polinomi e verificare che le formule sono corrette. 1) Sviluppo del quadrato di binomio con somma 2) Sviluppo del quadrato di binomio con differenza 3) Scomposizione della differenza di quadrati In questo caso ricaviamo la formula sviluppando il prodotto somma per differenza: 4) Cubo di binomio con somma 5) Cubo di binomio con differenza 6) Sviluppo della somma di due cubi Anche qui conviene dimostrare l'uguaglianza all'inverso: 7) Sviluppo della differenza di due cubi 8) Quadrato di trinomio con somma 9) Quadrato di trinomio con differenza 10) Dimostrazione piuttosto elaborata, ce ne occupiamo nella relativa lezione. Ovviamente imparare a memoria una trafila di formule è faticoso e non necessariamente utile, perché dopo un paio di giorni si rischia di dimenticare tutto. A questo proposito vogliamo rassicurarvi: non serve imparare a memoria i prodotti notevoli , perché li userete talmente tante volte negli esercizi da ricordarli automaticamente. Prodotti notevoli per lo sviluppo dei polinomi Nelle lezioni successive proporremo tanti esempi su ciascuno dei prodotti notevoli. Per ora limitiamoci a vedere un esercizio tipico: vogliamo ridurre il seguente polinomio alla forma normale Non abbiamo scelta: o ricordiamo i prodotti notevoli e li usiamo per sviluppare prodotti e potenze, oppure facciamo tutti i calcoli. Noi ovviamente scegliamo la prima strada. ;) Per sviluppare il primo prodotto usiamo la formula 3), per sviluppare i quadrati utilizziamo 1) e 2). Prodotti notevoli per la scomposizione dei polinomi Un altro caso in cui i prodotti notevoli sono molto utili riguarda la scomposizione di polinomi , detta anche fattorizzazione , vale a dire la riscrittura dei polinomi come prodotti di polinomi di grado inferiore (e positivo). Se da un lato i prodotti notevoli permettono di calcolare un prodotto o una potenza di un polinomio in un solo passaggio, dall'altro sono utili anche per riscrivere un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore. In pratica, i prodotti notevoli possono essere applicati anche al contrario. E perché dovremmo farlo? Per tanti motivi. Per il momento non è importante capire quali possono essere gli obiettivi: c'è tempo! Ci basta sapere che i prodotti notevoli si prestano anche per la tecnica di scomposizione dei polinomi. Torneremo a più riprese sull'argomento. Vediamo un esempio e proviamo a scomporre il seguente polinomio in fattori: Notiamo subito che 8=2 3 , quindi possiamo riscrivere e dunque possiamo utilizzare la formula 7) A proposito: nella scomposizione di polinomi un ulteriore metodo utile è quello della regola di Ruffini , di cui ci occuperemo più avanti. Se vi sentite già pronti per mettervi alla prova con gli esercizi sui prodotti notevoli, vi rimandiamo alla scheda correlata, e se non bastasse sappiate che qui su YM abbiamo risolto e spiegato migliaia e migliaia di esercizi. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna! Qualche altro spunto interessante: se volete verificare i risultati degli esercizi, potete servirvi del tool risolvi espressioni e di quello per la scomposizione di polinomi . Quest'ultimo vi permette di applicare i prodotti notevoli al contrario, in modo da scomporre un polinomio nel prodotto di polinomi di grado inferiore (se possibile); il primo invece permette di applicare i prodotti notevoli direttamente per riscrivere un prodotto di polinomi come un unico polinomio. Bye bye, see you soon guys! Fulvio Sbranchella (Agente Ω) Ultima modifica: 09/10/2024 Il Team di YouMath Termini e Privacy