Eccoci giunti al cuore del calcolo dei limiti. In questa lezione vi proponiamo la tabella dei limiti notevoli , vale a dire un elenco di risultati relativi ai limiti che possono essere usati direttamente nello svolgimento degli esercizi. Vi assicuriamo che conoscere i limiti notevoli è fondamentale per il prosieguo degli studi in Matematica, quindi vi raccomandiamo di non sottovalutarli! Più che una lezione, quello che vi proponiamo qui è un formulario utile sia per chi sta studiando da zero, sia per chi sta ripassando. Nella lezione successiva passeremo all'azione e spiegheremo come usare i limiti notevoli negli esercizi: mostreremo cioè le varie tecniche di applicazione nella pratica e proporremo diversi esempi svolti. Cosa sono i limiti notevoli I limiti notevoli sono limiti di funzioni elementari che vengono dimostrati una volta per tutte; sono molto importanti dal punto di vista pratico, perché permettono di semplificare il calcolo dei limiti più complessi con l'Algebra dei limiti e mediante tecniche di sostituzione. Un piccolo riassunto delle puntate precedenti. Nella lezione sulle forme indeterminate abbiamo detto che il calcolo dei limiti non è tutto rose e fiori. L' Algebra dei limiti e l'Algebra di infiniti e infinitesimi forniscono diversi metodi di calcolo, ma non sono sufficienti per risolvere tutti i possibili esercizi. Abbiamo quindi associato un metodo di risoluzione a ciascuna forma di indecisione . Ora iniziamo a descriverli uno ad uno, ma attenzione: sappiate che i limiti notevoli non ci permetteranno di risolvere tutte le forme indeterminate che possono manifestarsi; la buona notizia, però, è che ci permetteranno di risolvere esercizi delle più svariate tipologie. ;) In questo senso i limiti notevoli sono esattamente ciò che il nome lascia intendere: limiti di particolari funzioni, molto ricorrenti, che possono essere utilizzati dopo averli dimostrati o dati per buoni, a seconda dei casi. Guida alla lettura della tabella dei limiti notevoli In questo formulario proponiamo un elenco che contempla tutti i limiti notevoli che possono servire negli esercizi: quelli di tipo 1 sono quelli che dovrete usare nel 98% dei casi; quelli di tipo 2 sono meno comuni e vengono usati negli studi universitari, dunque gli studenti delle scuole superiori possono tralasciarli; quelli di tipo 3, infine, possono essere dedotti dagli altri limiti notevoli. Qui li riportiamo per completezza, ma potete fingere che non ci siano. È sempre meglio sapere giungere ai risultati con il ragionamento, piuttosto che con la memoria. ;)

Da ultimo, riteniamo utile fornire una duplice versione di ciascun limite notevole dell'elenco. Da un lato riportiamo il limite notevole di base , dall'altro il corrispondente limite notevole in forma generale . Sappiate che negli esercizi quella che userete nella maggior parte dei casi sarà proprio la seconda versione, come avrete modo di constatare nella lezione successiva sull'utilizzo dei limiti notevoli. Tabella completa dei limiti notevoli Nella generalizzazione di ciascun limite notevole la struttura rimane invariata e la variabile può essere sostituita da una qualsiasi funzione . Ciò è consentito a patto che valga una semplice condizione: la variabile può tendere a qualsiasi valore finito o infinito, purché soddisfi la condizione specificata nel limite notevole generalizzato. Tutti i seguenti limiti notevoli si riferiscono alla forma indeterminata ad eccezione del limite notevole del numero di Nepero, che fa riferimento alla forma indeterminata . Riguardo alle dimostrazioni, l'unica che viene solitamente richiesta alle scuole superiori è quella del limite notevole del seno ; le altre possono rivelarsi più ostiche e richiedono nozioni più avanzate, come gli sviluppi di Taylor , motivo per cui spesso vengono tralasciate. Alcune fonti e riferimenti includono nella tabella dei limiti notevoli (erroneamente, a nostro modesto avviso) il limite di xln(x) per x tendente a zero . Conoscere i limiti notevoli è una cosa, sapere come si usano è tutt'altra faccenda. A questo proposito vi rimandiamo alla lezione successiva: come si usano i limiti notevoli ? Qualche altra risorsa utile, prima di proseguire. In primo luogo il tool per il calcolo dei limiti online, grazie al quale potrete correggere i risultati dei vostri esercizi; inoltre, chi è qui per ripassare e si sente già pronto può mettersi alla prova con gli esercizi sui limiti notevoli. Potete accedervi dai link di navigazione presenti qui sotto. Infine, gli universitari interessati possono anche consultare la lezione sui limiti notevoli di successioni . ;) Farvel, see you soon guys! Fulvio Sbranchella (Agente Ω) Ultima modifica: 31/10/2024 Il Team di YouMath Termini e Privacy